VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo. El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales.

|−5| = 5 |5| = 5

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL 
Valor absoluto de un número real a, se escribe |a|, es el mismo número a cuando es positivo o cero, y opuesto de a, si a es negativo.

|5| = 5 |-5 |= 5 |0| = 0
|x| = 2 x = −2 x = 2
|x|< 2 − 2< x < 2 x (−2, 2 ) |x|> 2 x< −2 ó x>2 (−∞ , −2) (2, +∞)
|x −2 |< 5 − 5 < x − 2 < 5
− 5 + 2 < x < 5 + 2 − 3 < x < 7

PROPIEDADES

1) Los números opuestos tienen igual valor absoluto.

|a| = |−a| |5| = |−5| = 5

2) El valor absoluto de un producto es igual al producto de los valores absolutos de los factores.

|a • b| = |a| •|b| |5 • (−2)| = |5| • |(−2)| |− 10| = |5| • |2| 10 = 10

3) El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos.

|a + b| ≤ |a| + |b| |5 + (−2)| ≤ |5| + |(−2)| |3| = |5| + |2| 3 ≤ 7

FUNCION 

Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.

2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4 Representamos la función resultante. D =

RAZONES Y PROPORCIONES

Se llama razón entre dos números reales distintos de cero, dados en un cierto orden, al cociente exacto del primer por el segundo. El primero se llama antecedente y el segundo consecuente.

En los símbolos: la razón entre a y b es a/b = a : b siendo a y b números reales.
EJEMPLO
La razón entre 8 y 4 es 8/4 = 2

Se forma una proporción, cuando la razón entre los dos números primeros es igual a la razón entre los dos últimos.

En símbolos: Dados a, b, c y d si a/b = c/d, a, b, c y d forman una proporción y se lee “a es ab como c es a d” 
EJEMPLO
-1/0.5 = -8/4 es una proporción pues -1/0.5 = -2 y -8/4 = -2

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es una expresión en la que se relacionan valores indeterminados con constantes y cifras, todas ellas ligadas por un número de operaciones de suma , resta, producto, cociente, potencia y raíz. 

El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. L(r) = 2r

Las expresiones algebraicas mas comunes son:

• El doble o duplo de un número: 2x 
• El triple de un número: 3x 
• El cuádruplo de un número: 4x 
• La mitad de un número: x/2 
• Un tercio de un número: x/3 
• Un cuarto de un número: x/4 
• Un número es proporcional a 2, 3, 4...: 2x, 3x, 4x... 
• Un número al cuadrado: x² 
• Un número al cubo: x³ 
• Un número par: 2x 
• Un número impar: 2x + 1 
• Dos números consecutivos: x y x + 1 
• Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2 
• Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3 
• Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x 
• La suma de dos números es 24: x y 24 − x 
• La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x 
• El producto de dos números es 24: x y 24/x 
• El cociente de dos números es 24: x y 24 · x 

TIPOS

Expresiones algebraicas racionales

Es racional cuando las variables no están afectadas por la radicación. 

EJEMPLO

Expresiones algebraicas racionales enteras

Es racional entera cuando la indeterminada está afectada sólo por operaciones de suma, resta, multiplicación y potencia natural.

EJEMPLO

Expresiones algebraicas racional fraccionaria 

Es fraccionaria cuando la indeterminada aparece en algún denominador. 

EJEMPLO

Expresiones agebraicas irracional 

Es irracional cuando las variables están afectadas por la radicación.

EJEMPLO

Polinomios 

Son las expresiones algebraicas más usadas.
Sean a0 a 1 a2... números reales y n un número natural, llamaremos polinomio en indeterminada x a toda expresión algebraica entera de la forma :

EJEMPLO

Leyes de la potencia 

Suma de Polinomios

Para sumar dos polinomios se agrupan los términos del mismo grado y se suman sus coeficientes.  

EJEMPLOS 

Resta de polinomios

Para restar el polinomio Q(x) del polinomio P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de Q(x).

EJEMPLOS

Multiplicacion de Polinomios

Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los términos de igual grado.

EJEMPLOS

Division de Polinomios 

Existe una estrecha analogía entre el cociente de polinomios y la división de números enteros.
Recordemos algunas definiciones de la división entre números enteros.

EJEMPLO

RELACION DE ORDEN

Para contar siempre llevamos un orden, 1 después el 2, luego el 3 y luego el 4.

La correspondencia uno a uno entre el conjunto de los números reales y los puntos de una recta numérica permite representar geométricamente la relación de orden de los números reales, según la cual los números reales son ordenados.

Si a y b son números reales, entonces se tiene lo siguiente:

• Si a-b es mayor que cero, es  decir , a-b > 0,  a es mayor que b, lo que se simboliza con  a > b. El símbolo > significa " mayor que". 
• Si a - b  es menor que cero, entonces a es menor que b, lo que se escribe a < b. El símbolo < significa "menor que".
• Si a - b = 0, entonces a = b

OPERACIONES ENTRE NUMEROS REALES

Los números reales  (designados por   ) son casi todos los números que podemos escribir o conocer. 

Adicion o suma de numeros reales

En la adición de números reales, los términos que intervienen son los sumandos y el resultado, donde el orden de los sumandos no altera el resultado.

a+b=b+aa+b=b+a

al ser, los números reales, un conjunto que incluye los números negativos, la suma de negativos es posible, sin tener que recurrir a otro conjunto de números. Entonces, las sumas se pueden realizar como:

a+(−b)=(−b)+a=−b+a

EJEMPLOS:

7+(−11)= −11+7=−4

5+5+4= 14

2+(-5)+5=  -5+2+5=2

10+50+(-15)= 60-15= 45

Sustraccion o resta de numeros reales

A pesar de que todas las operaciones de sustracción de números reales pueden ser expresadas como sumas, como se podía ver en el ejemplo anterior, también en la sustracción existen reglas para evitar confusiones. Pues, los términos que intervienen en esta operación, son el sustraendo, el minuendo y el resultado. El sustraendo siempre va primero, el minuendo va siempre después, logrando que el orden de los términos si acabe por afectar al resultado.

a−b≠b−aa−b≠b−a

Donde a+(−b)a+(−b)  si es igual a (−b)+a(−b)+a. Por lo cual, para poder cambiar de orden a los términos de una resta, se debe usar el inverso aditivo o el negativo del sustraendo para que de esta manera no se vaya a alterar el resultado.

EJEMPLOS

5-1 =  4
10-(15-10)=10- 5=5

Multiplicacion de numeros reales

En la multiplicación de números reales, los términos son los factores y el producto o resultado. En esta operación, los factores no alteran el producto, sin embargo, existen otras reglas para multiplicar cuando se tienen números negativos.

Al multiplicar dos factores con el mismo signo positivo, la respuesta será la misma multiplicación, sin cambios.

a×b=ca×b=c

Por lo tanto, si tenemos dos factores con signo negativo, la regla sería.

−a×−b=c−a×−b=c

Si se calcula dos factores, ambos con signo diferente, uno positivo y otro negativo, entonces la respuesta va a ser negativa.

                                                                      a×−b=−ca×−b=−c

−a×b=−c−a×b=−c

Al operar con varios factores de signos variados, se debe contar la cantidad de factores con signo negativo. Si hay un número par, el resultado es positivo. Si hay un número impar, el resultado es negativo.

a×−b×−c=da×−b×−c=d

a×−b×c=−da×−b×c=−d

Si se multiplica por 1, cualquier factor daría como resultado el mismo factor.

a×1=aa×1=a

Si se multiplica por cero, el resultado será cero.

a×0=0

EJEMPLOS

3(3) = 9
3(2) = 6
3(1) = 3
3(0) = 0
3(−1) = -3
3(−2) = -6
División de números reales

En la división de números reales, se aplican las mismas reglas de signos que en la multiplicación. Y en las fracciones, si uno de los dos términos tienen signo negativo, toda la fracción se convierte en un número negativo.

 a/b=−a/b=−a/b

Sin embargo, la división solo se puede realizar entre números mayores o menores que cero, mas no el mismo cero, ya que el resultado no está definido en estos casos. 

EJEMPLOS

10 /(1/2)= 10(2) = 20

-7 /(2/3)=-7(3/2)= 21/2

(4/7) / 2= 2(7/4)= 14/4

Potenciación de números reales

Todo producto de factores iguales, por ejemplo: a·a·a puede escribirse abreviadamenteasí: a3.

En la expresión anterior, a3 se llama potencia, el factor que se repite (a) se llama base y el numero de veces que se repite el factor (3) se llama exponente.

CONJUNTOS NUMERICOS

CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES

El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1).

El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios.
Este conjunto se caracteriza porque:
Tiene un número ilimitado de elementos
Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor. 

                                                      N = { 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}

CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS

El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 =  ¿?). Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico , situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él).

Z = Tiene 3 Subconjuntos:

                                                   Z =   { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS NEGATIVOS

Enteros Negativos: Z ¯
Enteros Positivos:  Z +
Enteros Positivos y el Cero:  Z 0 +
Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados.

CONJUNTO DE LOS NUMEROS RACIONALES 

El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, Números Cardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b . Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero.

El conjunto de los Números Racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z).

                                     Q  = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

CONJUNTO DE NUMEROS IRRACIONALES

I =   Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi , etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros , es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción.

FUNCIONES

Las funciones juegan un papel muy importante en matemática. Una precisa definición es la siguiente.

Sea f una relación de A en B. Entonces f es una función de A en B (denotado f : A → B y se lee “f es una función de A en B”) si y sólo si

a) Dom(f) = A

b) ∀ x ∈ A, ∀ y, z ∈ B [(x, y) ∈ f ∧ (x, z) ∈ f] → y = z.

En palabras, lo anterior dice que si f es una relación de A en B tal que para cada x ∈ A existe exactamente un y ∈ B tal que (x, y) ∈ f, entonces f es una función

La condición a) garantiza que para cada x ∈ A existe al menos un tal “y” y la condición b) garantiza que hay a lo más uno. Asá, tomados juntos, hay exactamente uno. 

En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”.

Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso.

A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?:

1 -------->   1

2 -------->   4

3 -------->   9

4 --------> 16

Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.

La regla es entonces "elevar al cuadrado":

1 -------->   1

2 -------->   4

3 -------->   9

4 --------> 16

x -------->   x 2 .

Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es  la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".

Usualmente se emplean dos notaciones:

x --------> x 2 o f(x) = x 2 .

Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3 2 = 9.

Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4,  f(4) = 16,   f(a) = a 2 , etc.

Ejemplo 1

Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos

Conjunto X	Conjunto Y
Ángela	55
Pedro	88
Manuel	62
Adrián	88
Roberto	90

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio ) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente . Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio ) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente . Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo 2

Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".

x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son:

Conjunto X	Conjunto Y	Desarrollo
− 2	− 1	f(−2)  = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1
− 1	1	f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1
0	3	f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3
1	5	f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5
2	7	f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7
3	9	f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9
4	11	f(4)    = 2(4)   + 3 =   8 + 3 =  11

Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y)