FUNCIONES POLINOMIALES

Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en la Matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que intervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real.

La función polinomial se llama si porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio; su forma general es:

Como recordaras de tus cursos de álgebra, una expresión algebraica se puede clasificar por dos características importantes:a)  El número de términos que lo componen

b)  El grado de expresión.

Para entender lo anterior, veamos el siguiente ejemplo:

El grado de una función estará dado por el mayor de los exponentes:

Alguna propiedades de las funciones polinomiales
1. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje Y en el punto (0,c)
2. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son las raíces de la
    ecuación a xn + + a1x + a0 = 0
3. Las funciones polinomiales son funciones continuas.

Entre las funciones polinomiales se encuentran por ejemplo: las funciones constantes, las

Funciones lineales, las funciones cuadráticas, las funciones cúbicas, cuyas principales
características se describirán a continuación. a)

A)  FUNCIÓN CONSTANTE

Una función constante es aquella que tiene la forma y=f(x)=c, donde c es un número real fijo.
El dominio de una función constante es IR, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una recta paralela (o coincidente) al eje X.

A) FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 , a,b∈ IR
Propiedades

1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.
2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b.
    Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es decreciente.

3. El dominio y el recorrido de una función lineal es IR.

4. La función lineal y = f(x) = ax + b , con a ≠ 0 es inyectiva (y sobre), por lo tanto, tiene inversa. Su inversa es también una función lineal:

Observación. Ecuación general de la recta
La ecuación general de una recta es Ax+By+C=0 con A ≠ 0 o B ≠ 0 . 

Cuando B=0, la gráfica es una recta paralela al eje Y o coincidente con este eje.
Cuando B ≠ 0 , la gráfica es una recta que tiene pendiente igual a

c) Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
       y = f (x) = ax2 + bx + c , con a ≠ 0 , a,b,c∈ IR

Propiedades de una función cuadrática

1. El gráfico de una función cuadrática es una parábola.

2. La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje Y en el punto (0,c)

La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje X cuando Δ = b2 − 4ac ≥ 0 , y

en tal caso, las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación
                              ax2 + bx + c = 0.
3. Su gráfica es una parábola cuyo vértice es el punto
4. La recta vertical  es una recta eje de simetría de su gráfico.
5. Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo.
                   

Gráfica de una función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c

d) Función cúbica

Una función cúbica es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR

Un ejemplo de función cúbica es la función y = f (x) = x3 , cuya gráfica es:

EJEMPLO DE PUNCIONES POLINOMIALES a)   f (x) = 5                              b)  f (x) = 4x +1                         c)  f (x) = −x2 + 3x −1

d)   f (x) = x3 + 2x2 − x + 5                                       e)   f (x) = 0.3x4 + x + 3