DEFINICION Y CLASES DE MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener una única solución (sistema compatible determinado), infinitas soluciones (sistema compatible indeterminado), o bien pueden no admitir solución (sistema incompatible).

Los sistemas homogéneos siempre son compatibles porque admiten al menos la solución trivial 

$X=O$

$\mathrm{<br>}$

$\mathrm{<br>}$

Las matrices se representan genéricamente del siguiente modo:

$ El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas. De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),...Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ...El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij).Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por aij. Tipos de Matrices Matrices IgualesDos matrices son i guales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son igules.Ejemplo: Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila. Ejemplo:  Matriz columna La matriz columna tiene una sola columnaEjemplo: Matriz rectangular La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su dimensión mxn.Ejemplo: Matriz traspuesta Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Ejemplo:  Matriz nula En una matriz nula todos los elementos son ceros. Ejemplo: Matriz cuadrada La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas. Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal. La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1, siendo n el orden de la matriz.Ejemplo: Matriz triangular superior En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.Ejemplo: Matriz triangular inferior En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal principal son ceros.Ejemplo: Matriz diagonal En una matriz diagonal todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son nulos.Ejemplo: Matriz escalar Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.Ejemplo: Matriz identidad o unidad Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.Ejemplo: Matriz regular Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa. Matriz singular Una matriz singular no tiene matriz inversa. Matriz idempotente Una matriz, A, es idempotente si:A2 = A. Matriz involutiva Una matriz, A, es involutiva si:A2 = I. Matriz simétrica Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:A = At. Matriz antisimétrica o hemisimétrica Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:A = −At. Matriz ortogonal Una matriz es ortogonal si verifica que:A · At = I. $