PROPIEDADES DE LOS OPERADORES LÓGICOS

Vamos a examinar las propiedades que tienen las operaciones lógicas antes definidas, para ello consideramos que p, q y r son tres proposiciones cualesquiera. Entonces tenemos los siguiente:

1)  Idempotencia
p˄p ≡ p
p˅p ≡p

2)  Asociatividad
(p˄q)˄r ≡ p˄(q˄r)
(p˅q)˅r ≡ p˅(q˅r)

3)  Conmutatividad
p˄q ≡ q˄p
p˅q ≡ q˅p

4)  Distributividad
p˄(q˅r) ≡ (p˄q)˅(p˄r)
p˅(q˄r) ≡ (p˅q)˄(p˅r)

5)  Identidad
p˄(F) ≡ (F)
p˅(F) ≡ p
p˄(V) ≡ p
p˅(V) ≡ (V)

6)  Complemento
p˄(~p) ≡ (F)
p˅(~p) ≡ (V)
~(~p) ≡ p
~(V) ≡ (F)
~(F) ≡ (V)

7) Condicionantes
(p → q) ≡ (~p ˅ q)
(p → q) ≡ (~q → ~p)
(p ↔ q) ≡ (p → q) ˄ (q → p)
(p ↔ q) ≡ (~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)

8) De Morgan
~(p ˅ q) ≡ (~p ˄ ~q)
~(p ˄ q) ≡ (~p ˅ ~q)
~(p → q) ≡ (p ˄ ~q)
~(p ↔ q) ≡ (~p ↔ ~q)

EJEMPLOS:

(p ˄ q)     →    [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]        

~(p ˄ q)     ˅    [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]                                 condicionante

(~p ˅ ~q)   ˅    [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]                                 De Morgan

[(~p ˅ ~q)˅(~p ˅ q)]    ˄   [(~p ˅ ~q) ˅ (~q ˅ p)]             distributividad

[(~p ˅ ~p)˅(q ˅ ~q)]    ˄   [(~p ˅ p) ˅ (~q ˅ ~q)]             conmutatividad, asociatividad

[~p ˅ (v)]   ˄   [(v) ˅~q]                                                    idempotencia, complemento 

         (v)    ˄    (v)                                                              identidad 

                (v)                                                                                         identidad