DEMOSTRACIONES

Es una cadena finita de proposiciones verdaderas, que se obtienen con ayuda de reglas de inferencia lógicas. El punto de partida de esta cadena son proposiciones cuya verdad es conocida. El punto final de la cadena es el teorema a demostrar. Cada miembro de la cadena se obtiene del anterior mediante reglas de inferencia lógica

En la demostración de teoremas matemáticos aparece la regla de inferencia lógica de la forma proposicional A resulta la forma proposicional B, si y solo si cada interpretación de las variables que satisfacen a A, satisface también a B y para ello se utiliza el siguiente teorema de la lógica matemática: De A resulta B si y solo si la implicación es válida.

Pero la implicación es un teorema matemático cuya validez puede ser comprobada por una demostración. Podemos ahorrarnos, las interpretaciones de las variables de A y de B; siendo solo necesario demostrar el teorema. La expresión se expresa de la forma “de A resulta B o sí A entonces B”, siendo estas las formas en que comúnmente aparecen expresados los teoremas matemáticos.

Observe que, de acuerdo con estas definiciones, un teorema es verdadero si, y sólo si la proposición condicional P −→ Q es una tautología o también si P =⇒ Q o también si P ∴ Q Dicho de otra forma un teorema es verdadero si, y sólo si el razonamiento P −→ Q es válido.

EJEMPLO

Determinar cuáles de los razonamientos siguientes son válidos. Construir demostraciones para los razonamientos que lo sean y para los que no lo sean, explicar por qué la conclusión no se sigue de la hipótesis.

(a) p ∧ q p −→ r ∴/ r ∧ q                (b) p ∨ q p −→ r ∴/ r ∨ q      (c) p −→ q p −→ r ∴/ r −→ q.

(a) En efecto, (p ∧ q) ∧ (p −→ r) ⇐⇒ (q ∧ p) ∧ (p −→ r) {Conmutatividad de ∧}

                                                           ⇐⇒ q ∧ [p ∧ (p −→ r)] {Asociatividad de ∧}

                                                            =⇒ q ∧ r {Modus ponens}

                                                           =⇒ r ∧ q {Conmutatividad de ∧}

 El razonamiento es válido.

(b) En efecto, (p ∨ q) ∧ (p −→ r) =⇒ (¬q −→ p) ∧ (p −→ r) {Implicación}

                                                          =⇒ ¬q −→ r {Silogismo hipotético}                                                                                                     

                                                          =⇒ ¬¬q ∨ r {Implicación}

                                                         ⇐⇒ q ∨ r {Doble negación}

                                                         ⇐⇒ r ∨ q {Conmutatividad de ∨}

El razonamiento, por tanto, es válido.

(c) Veamos si el razonamiento es válido, es decir, si [(p −→ q) ∧ (p −→ r)] =⇒ (r −→ q). Si (p −→ q)∧(p −→ r) es verdad, entonces p −→ q y p −→ r, ambas, han de ser verdad.

Analizamos las distintas opciones según los valores de verdad de p

Si p es verdad, entonces q y r han de ser verdad, luego r −→ q es verdad. − Si p es falsa, entonces q y r pueden ser las dos verdades, las dos falsas o una falsa y la otra verdad. En uno de los casos (r verdadera y q falsa) la conclusión, r −→ q es falsa. Por lo tanto de la veracidad de la hipótesis no se sigue la veracidad de la conclusión y, consecuentemente, el razonamiento no es válido.

EJEMPLO

Expresar verbalmente los razonamientos dados y establecer la validez de los mismos. Tomar: p : 1Gb es mejor que nada. q : Compraremos mayor capacidad de memoria. r : Compraremos un ordenador nuevo.

(a) p −→ r p −→ q / ∴ p −→ (r ∧ q)                      (b) p −→ (r ∨ q) r −→ /¬q ∴ p −→ r

(c) p −→ r r −→ q /∴ q                                           (d) ¬r −→ ¬p r ∴ /p

(a) La forma verbal del razonamiento sería: Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo. Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos mayor capacidad de memoria. ∴ Si 1GB es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo y mayor capacidad de memoria.

Entonces, (p −→ r) ∧ (p −→ q) ⇐⇒ (¬p ∨ r) ∧ (¬p ∨ q) {Implicación}

                                                     ⇐⇒ ¬p ∨ (r ∧ q) {Distributividad de ∨ respecto de ∧}

                                                     ⇐⇒ p −→ (r ∧ q) {Implicación}

Por lo tanto, el razonamiento es válido.

(b) En forma verbal, el razonamiento es Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo o mayor capacidad de memoria. Si compramos un ordenador nuevo, entonces no compraremos mayor capacidad de memoria. ∴ Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo.

Pues bien, si p −→ r es falso, entonces p es verdad y r es falso, luego r −→ ¬q es verdad independientemente del valor de verdad de q y el valor de verdad de [p −→ (r ∨ q)]∧(r −→ ¬q) dependerá del de p −→ (r ∨ q) que, a su vez, depende del que tenga q. − Si q es verdad, entonces p −→ (r ∨ q) es verdad y, por lo tanto, [p −→ (r ∨ q)] ∧ (r −→ ¬q) es verdad. − Si q es falso, entonces p −→ (r ∨ q) es verdad y, por lo tanto, [p −→ (r ∨ q)] ∧ (r −→ ¬q) es falso. Consecuentemente, el razonamiento no es válido.

(c) El razonamiento sería, Si 1Gb es mejor que nada, entonces compraremos un ordenador nuevo. Si compramos un ordenador nuevo, entonces compraremos mayor capacidad de memoria. ∴ Compraremos mayor capacidad de memoria. Estudiemos la validez del razonamiento. Por el silogismo hipotético, [(p −→ r) ∧ (r −→ q)] =⇒ (p −→ q) pero p −→ q no implica lógicamente q. En efecto, si p −→ q es verdad, entonces pueden ocurrir dos cosas: si p es verdad, q ha de ser también verdad. Si p es falso, q puede ser verdad o falso.

Consecuentemente, el razonamiento no es válido.

(d) La forma verbal del razonamiento sería: Si no compramos un ordenador nuevo, entonces 1GB no es mejor que nada. Compraremos un ordenador nuevo. ∴ 1Gb es mejor que nada. Estudiemos su validez. Si [(¬r −→ ¬p) ∧ r] es verdad, entonces ¬r −→ ¬p y r han de ser, ambas, verdad, de aquí que ¬r sea falsa y ¬p y, por lo tanto, p pueda ser verdad o falsa. Así pues, de la veracidad de [(¬r −→ ¬p) ∧ r] no se sigue la veracidad de p, luego la primera proposición no implica lógicamente la segunda y, consecuentemente, el razonamiento no es válido