FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ELEMENTALES

Las funciones trigonométricas se construyen a partir del estudio de los triángulos rectángulos, existiendo seis funciones elementales, tres de ellas consideradas como primordiales básicas  (funciones seno, coseno y tangente) y las otras como reciprocas de las segundas (funciones cosecante, secante y cotangente).  

El ángulo A está formado por la hipotenusa y el cateto CA . Decimos que el cateto CA es adyacente al ángulo A. Decimos que el cateto BC es el lado opuesto al ángulo A. En otras palabras, el cateto 

adyacente es el lado que forma parte del ángulo; el cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo.

Ejemplo
Problema	¿Cuáles son las longitudes de los lados opuesto al ángulo X y adyacente al ángulo X?
		El lado opuesto al ángulo X es  . Su longitud es 3. El lado adyacente al ángulo Xes  . Su longitud es 4.
Respuesta	longitud del lado opuesto: 3 longitud del lado adyacente: 4

Ten en cuenta que las palabras “opuesto” y “adyacente” dependen de qué ángulo se está tratando. El lado opuesto al ángulo no necesariamente es la altura del triángulo.
Cada cateto en un triángulo rectángulo es adyacente a uno de los ángulos agudos y opuesto al otro ángulo agudo.


Función Seno 

Las características fundamentales de la función seno son las siguientes:

1) Su dominio es R y es continua.
2) Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ sen x ≤ 1 .
3) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 0) .
4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
sen (- x) = - sen (x)
5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π/2 + 2·k·π y b = π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = π/2 + 2·k·π y b = 3π/2 + 2·k·π siendo k∈Z .
6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (3π/2 + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
7) Es periódica de periodo 2π .
sen (x) = sen (x + 2π)
La función f(x) = sen (k·x) es periódica de periodo p = 2π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0 < |k| <1 el periodo aumenta.
8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1

La función seno asocia a cada número real, x, el valor del seno del ángulo cuya medida en radianes es x. 

Función Coseno

Las características fundamentales de la función coseno son las siguientes:

1) Su dominio es R y es continua.

2) Su recorrido es [- 1, 1] ya que - 1 ≤ cos x ≤ 1 .
3) Corta al eje X en los puntos π/2 + k·π con k∈Z .
Corta al e Y en el punto (0, 1) .
4) Es par, es decir, simétrica respecto al eye Y.
cos (x) = cos (- x)
5) Es estrictamente creciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = - π + 2·k·π y b = 0 + 2·k·π siendo k∈Z .
Es estrictamente decreciente en los intervalos de la forma (a, b) donde a = 0 + 2·k·π y b = π + 2·k·π siendo k∈Z .
6) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (2·k·π, 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (π + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
7) Es periódica de periodo 2π .
cos (x) = cos (x + 2π)
La función f(x) = cos (k·x) es periódica de periodo p = 2π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0< |k| <1 el periodo aumenta.
8) Está acotada superiormente por 1 e inferiormente por - 1.

La función coseno asocia a cada número real, x, el valor del coseno del ángulo cuya medida en radianes es x.

Función Tangente

Las características fundamentales de la función tangente son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π/2 + k·π con k∈Z} .
2) Es discontinua en los puntos π/2 + k·π con k∈Z .
3) Su recorrido es R .
4) Corta al eje X en los puntos k·π con k∈Z .
Corta al eje Y en el punto (0, 0) .
5) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
tg (- x) = - tg (x)
6) Es estrictamente creciente en todo su dominio.
7) No tiene máximos ni mínimos.
8) Es periódica de periodo π .
tg (x) = tg (x + π)
La función f(x) = tg (k·x) es periódica de periodo p = π/k
Para |k|>1 el periodo disminuye y para 0< |k| <1 el periodo aumenta.
9) Las rectas y = π/2 + k·π con k∈Z son asíntotas verticales.
10) No está acotada.

N.D. : No Definida

Función Secante

Las características fundamentales de la función secante son las siguientes:

1) Su dominio es R - {π/2 + k·π} con k∈Z .
2) Su recorrido es R - (- 1, 1) .
3) No corta al eje X.
Corta al eje Y en el punto (0, 1) .
4) Es par, es decir, simétrica respecto al eje Y.
sec (- x) = sec (x)
5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (π + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (2·k·π, 1) con k∈Z .
6) Es periódica de periodo 2π .
sec (x) = sec (x + 2π)
7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma x = π/2 + k·π con k∈Z .
8) No está acotada

N.D. : No Definida

Función Cosecante

Las características fundamentales de la función cosecante son las siguientes:

1) Su dominio es R - {k·π} con k∈Z .
2) Su recorrido es R - (- 1, 1) .
3) No corta al eje X ni al eje Y.
4) Es impar, es decir, simétrica respecto al origen.
cosec (- x) = - cosec (x)
5) Tiene infinitos máximos relativos en los puntos de la forma (- π/2 + 2·k·π, - 1) con k∈Z .
Tiene infinitos mínimos relativos en los puntos de la forma (π/2 + 2·k·π, 1) con k∈Z .
6) Es periódica de periodo 2π .
cosec (x) = cosec (x + 2π)
7) Tiene asíntotas verticales en los puntos de la forma x = k·π con k∈Z .
8) No está acotada.

N.D. : No Definida

ANGULOS Y SUS MEDIDAS

Decimos que un ángulo es la abertura que hay entre dos rectas (o segmentos) que se cortan en un punto llamado vértice.

-Los lados del ángulo son las semirrectas que lo forman.
- El vértice del ángulo es el punto común que es origen de los lados.

Los ángulos pueden nombrarse utilizando letras griegas. Por ejemplo:

Los tipos de ángulos son:

Agudo < 90°

Recto = 90°

Obtuso > 90°

Convexo < 180°

Llano = 180°

Cóncavo > 180°

Completo = 360°

Nulo = 0º

Hoy hablaremos de los ángulos agudo, recto y obtuso.

Ángulos rectos

Un ángulo recto es un ángulo que mide exactamente 90°. Si te das cuenta, en la esquina del ángulo hay un símbolo especial, una caja. Si ves ese símbolo, el ángulo es recto. No se suele escribir el 90°. Si ves la caja en la esquina ya te están diciendo que es un ángulo recto.

Un ángulo recto puede estar en cualquier orientación o giro, lo que importa es que el ángulo interior sea 90°

 Ángulos agudos

Un ángulo agudo es un ángulo que mide menos de 90°. 

Acuérdate de fijarte en cuál de los dos ángulos es al que se refiere uno. Si el ángulo pequeño es menor que 90°, entonces ese es agudo.

Ángulos obtusos

Un ángulo obtuso es un ángulo que mide más de 90° pero menos de 180°. 

 Acuérdate de fijarte en cuál de las dos partes es a la que se refiere uno. El ángulo más pequeño entre laslíneas es obtuso si mide entre 90° y 180°.

FUNCION RACIONAL , EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

FUNCIONES RACIONALES 

Una función racional es una función que puede escribirse como cociente de dos polinomios. Si el denominador es un número (un polinomio de grado 0), entonces la función es un polinomio. Por lo tanto, las funciones polinómicas son funciones racionales

FUNCIONES EXPONENCIALES

La función exponencial, es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función.

La función exponencial e^x puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita o bien como un límite de una sucesión. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

o como el límite de la sucesión:

FUNCIONES LOGARÍTMICAS 

La función logarítmica "básica" es la función, y = log b x , donde b > 0 y b ≠ 1.

La gráfica de la función logarítmica y = log 10 x se muestra a continuación.

Observe que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial y = b x y tiene las siguientes propiedades.

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales positivos.
2. El rango es el conjunto de todos los números reales. 
   (Ya que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial, el dominio de la función logarítmica es el rango de la función exponencial y el rango de la función logarítmica es el dominio de la función exponencial)
3. La función es continua y uno-a-uno.
4. El eje de las y es la asíntota de la gráfica.
5. La gráfica intersecta al eje de las x en (1, 0). Esto es, la intercepción en x es 1.

La función logarítmica, y = log b x , puede ser cambiada en k unidades verticalmente y h unidades horizontalmente con la ecuacióny = log b ( x + h ) + k .

Cambio Vertical

Si k > 0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia arriba.

Si k < 0, la gráfica se desplazaría k unidades hacia abajo.

Cambio Horizontal

Si h > 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la izquierda.

Si h < 0, la gráfica se desplazaría h unidades a la derecha.

Función logarítmica natural

El logaritmo con base e es llamado el logaritmo natural. Se denota por ln x . La función logarítmica natural, y = ln x es la inversa de la función exponencial natural de base, y = e x .

La gráfica de la función logarítmica natural y = ln x se muestra a continuación.

EJEMPLOS 

2.- Dadas las funciones f (x) = x² - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x).

Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g.

Resolución:

- (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x² - 3 - (x + 3) = x² - 3 - x - 3 = x² - x - 6

- (f - g)(1/3) = (1/3)² - 1/3 - 6 = - 56/9
- (f - g)(-2) = (-2)² - (-2) - 6 = - 0
- (f - g)(0) = (0)² - 0 - 6 = - 6

Calcular el dominio de las funciones racionales:

          

FUNCIONES POLINOMIALES

Las funciones polinomiales y su representación gráfica, tienen gran importancia en la Matemática. Estas funciones son modelos que describen relaciones entre dos variables que intervienen en diversos problemas y/o fenómenos que provienen del mundo real.

La función polinomial se llama si porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio; su forma general es:

Como recordaras de tus cursos de álgebra, una expresión algebraica se puede clasificar por dos características importantes:a)  El número de términos que lo componen

b)  El grado de expresión.

Para entender lo anterior, veamos el siguiente ejemplo:

El grado de una función estará dado por el mayor de los exponentes:

Alguna propiedades de las funciones polinomiales
1. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje Y en el punto (0,c)
2. La gráfica de y = f (x) intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son las raíces de la
    ecuación a xn + + a1x + a0 = 0
3. Las funciones polinomiales son funciones continuas.

Entre las funciones polinomiales se encuentran por ejemplo: las funciones constantes, las

Funciones lineales, las funciones cuadráticas, las funciones cúbicas, cuyas principales
características se describirán a continuación. a)

A)  FUNCIÓN CONSTANTE

Una función constante es aquella que tiene la forma y=f(x)=c, donde c es un número real fijo.
El dominio de una función constante es IR, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una recta paralela (o coincidente) al eje X.

A) FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 , a,b∈ IR
Propiedades

1. El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.
2. El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b.
    Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es decreciente.

3. El dominio y el recorrido de una función lineal es IR.

4. La función lineal y = f(x) = ax + b , con a ≠ 0 es inyectiva (y sobre), por lo tanto, tiene inversa. Su inversa es también una función lineal:

Observación. Ecuación general de la recta
La ecuación general de una recta es Ax+By+C=0 con A ≠ 0 o B ≠ 0 . 

Cuando B=0, la gráfica es una recta paralela al eje Y o coincidente con este eje.
Cuando B ≠ 0 , la gráfica es una recta que tiene pendiente igual a

c) Función cuadrática

Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
       y = f (x) = ax2 + bx + c , con a ≠ 0 , a,b,c∈ IR

Propiedades de una función cuadrática

1. El gráfico de una función cuadrática es una parábola.

2. La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje Y en el punto (0,c)

La gráfica de y = f (x) = ax2 + bx + c intercepta al eje X cuando Δ = b2 − 4ac ≥ 0 , y

en tal caso, las abscisas de los puntos de intersección son las raíces de la ecuación
                              ax2 + bx + c = 0.
3. Su gráfica es una parábola cuyo vértice es el punto
4. La recta vertical  es una recta eje de simetría de su gráfico.
5. Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo.
                   

Gráfica de una función cuadrática y = f (x) = ax2 + bx + c

d) Función cúbica

Una función cúbica es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d , con a ≠ 0 , a,b,c,d ∈ IR

Un ejemplo de función cúbica es la función y = f (x) = x3 , cuya gráfica es:

EJEMPLO DE PUNCIONES POLINOMIALES a)   f (x) = 5                              b)  f (x) = 4x +1                         c)  f (x) = −x2 + 3x −1

d)   f (x) = x3 + 2x2 − x + 5                                       e)   f (x) = 0.3x4 + x + 3

OPERACIONES CON FUNCIONES CON UNA VARIABLE REAL

Suma de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Resta de funciones

Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función

(f - g)(x) = f(x) - g(x)

Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo.

Producto de funciones

Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por

(f.g)(x) = f(x).g(x)

Cociente de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por

(f/g)(x) = f(x)/g(x)

(La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.)

Producto de un número por una función

Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por

(a.f)(x) = a.f(x)

TECNICAS DE GRAFICACION DE FUNCIONES

Mediante una gráfica conocida es posible obtener nuevas gráficas que tengan alguna relación con ella. Estas relaciones matemáticamente se las representa mediante sumas o productos de constantes con las variables del dominio y rango de la función original.

DESPLAZAMIENTOS

Pueden darse horizontal o verticalmente, es decir, podemos mover la gráfica de una función hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia arriba o hacia abajo.

Dada la regla de correspondencia de f, siendo c > 0, se pueden generar las nuevas funciones: ▪ y = f (x + c) : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia la izquierda.

 ▪ y = f (x − c) : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia la derecha.

▪ y = f (x) + c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia arriba.

 ▪ y = f (x) − c : desplazamiento de la gráfica c unidades hacia abajo.

Reflexiones Pueden ser con respecto a alguno de los ejes coordenados.

Dada la regla de correspondencia de f, se pueden generar las nuevas funciones:

 ▪ y = f (− x): reflexión de la gráfica de f con respecto al eje Y.

▪ y = − f (x): reflexión de la gráfica de f con respecto al eje X.

COMPRENSION O ALARGAMIENTO

Dada la regla de correspondencia de f, siendo k > 0, se pueden generar las nuevas funciones: ▪ y = k f (x): si el valor de 0 <k < 1, la gráfica de f se comprime verticalmente y si k > 1, la gráfica de f evidencia un alargamiento vertical.

▪ y = f (kx): la gráfica de f presenta compresión horizontal si k > 1 y alargamiento en sentido horizontal si 0 <k < 1.

VALORES ABSOLUTOS

Dada la regla de correspondencia de f, se pueden generar las nuevas funciones:

▪ f(|x|) : Reflexión de la gráfica de f cuando x > 0, con respecto al eje Y.

 ▪ f(−|x|) : Reflexión de la gráfica de f cuando x < 0, con respecto al eje Y.

 ▪ | f (x)| : Reflexión de la gráfica de f cuando y < 0, con respecto al eje X.

Nótese que en los dos primeros casos se obtiene una función par, ya que f(|x|) = f (|−x|) y f (−|x|) = f (−|−x|).

Sea y = f(x) una función. Para representarla gráficamente hay que seguir los pasos siguientes:

• Calculo del dominio:

dom(f) = {x ∈ R : ∃f(x)}

• Simetrías

f(−x) = f(x), ∀x ∈ dom(f) ⇐⇒ f es par

f(−x) = −f(x), ∀x ∈ dom(f) ⇐⇒ f es impar

• Corte con los ejes coordenados

La grafica de la funcion y = f(x) cortara al eje de abcisas o eje OX en un punto x0 ∈ dom(f) si

f(x0) = 0, y cortar´a al eje de ordenadas o eje OY si 0 ∈ dom(f).

 Asıntotas:

Las asıntotas pueden ser de tres tipos:

Verticales.- La recta x = a es una asıntota vertical de f si

siendo a /∈ dom(f), por lo que la curva jamas cortar´a a dicha asıntota.

Horizontales.- La recta y = b es una asıntota horizontal de f si

Oblicuas.- La recta y = mx + n es una asıntota oblicua de f si

Es fundamental tener en cuenta que si f posee asıntotas horizontales entonces no tendrá asıntota

oblicua alguna.

Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos

En este paso se trata de averiguar en que puntos del dominio la función es creciente o decreciente

y de calcular los máximos y mínimos de la función

 Concavidad y convexidad. Puntos de inflexión

Aquí hay que hallar la concavidad, convexidad y puntos de inflexión de f