domingo, 3 de septiembre de 2017

ELIPSE

La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focos es constante.
Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado
Los elementos más importante de la elipse son:
Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de las dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es constante.
Distancia focal (2c): distancia entre los dos focos. F1F2=2c. c es la semidistancia focal.
Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor (o igual en el caso de la circunferencia) a la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje mayor:


Fórmula de la suma de las distancias a los focos de la elipse.
Semieje menor: longitud del segmento OJ o OL (b). Ambos semiejes son los dos ejes de simetría de la elipse. Se cumple que:


Fórmula de la relación entre los semiejes y la distancia focal de la elipse.
Como vemos en el dibujo, esta relación cumple el teorema de Pitágoras.
Radios vectores: los radios vectores de cualquier punto de la elipse (P=(x,y)) son los dos segmentos que lo unen con los dos focos. PF1 y PF2 (en el dibujo, d1 y d2).
Vértices: son los puntos resultantes de la intersección de la elipse con la recta que pasa por los focos, F1F2, y su perpendicular que pasa por el centro. Es decir, son los puntos IJK y L

Los puntos pertenecientes a la elipse(x,y) son los puntos del plano que cumplen que la suma de su distancia a los dos focos es constante. La ecuación de la elipse es la siguiente:

Fórmula de la ecuación de la elipse



En el caso de que la elipse esté centrada (el centro es el punto (0,0)), la ecuación es:

Fórmula de la ecuación de la elipse
El área comprendida dentro de una elipse es π veces el producto de los dos semiejes (a y b).


Dibujo del área de la elipse


Fórmula del área de la elipse










Dibujo del área del círculoEn el caso de que los dos semiejes sean iguales (r=a=b), su fórmula es la misma que el área comprendida dentro de una circunferencia (o lo que es lo mismo, el área del círculo):

Fórmula del área del círculo


El cálculo del perímetro de la elipse(o longitud de la elipse) es muy difícil, aunque no lo parezca. Requiere de integrales complicadas para su cálculo. Existen fórmulas que aproximan el cálculo hasta valores bastante exactos. Existe una aproximación con menos del 5% de error, siempre que el semieje mayor (a) no sea mucho más grande que el menor (b):

Fórmula del perímetro de la elipse

EJEMPLO
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3, 0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

elipse
Semieje mayor: semieje menor 

Semidistancia focal: c

Semieje menor: b 
Ecuación reducida: ecuación 
Excentricidad: e






PARABOLA

Una parábola es una curva en la que los puntos están a la misma distancia de:
un punto fijo (el foco), y
una línea fija (la directriz)


La parábola es una sección cónica, resultado de la intersección de un cono recto con un plano que corta a la base del mismo, oblicuo a su eje y paralelo a una directriz g.
El foco y la directriz determinan cómo va a ser la apariencia de la parábola (en el sentido de que será más o menos abierta según sea la distancia entre F y la directriz).

Una de las aplicaciones físicas más importantes de la parábola es el movimiento parabólico. Este movimiento se caracteriza porque una partícula o cuerpo sólido lanzado en un campo gravitatorio recorre una trayectoria parabólica.
Una aplicación práctica de la parábola son las antenas parabólicas, en las que todas las rectas paralelas al eje de la parábola se reflejan en el foco de la misma. (Empleado en óptica, antenas de transmisión de radiofrecuencia, estufas domésticas par
abólicas, captación de energía solar, etc.)


Movimiento parabólico de una partícula describiendo una trayectoria parabólica.















La ecuación de la parábola depende de si el eje es vertical u horizontal. Si el eje es vertical, la y será la variable dependiente. Si el eje es horizontal, será x la variable dependiente.

Eje vertical

Dibujo de la parábola de eje verticalLa ecuación de la parábola a partir del vértice siendo el eje vertical es:

Fórmula de la ecuación de la parábola siendo el eje vertical a partir del vértice

La ecuación general de la parábola con el eje vertical es la siguiente:


Fórmula de la ecuación general de la parábola siendo el eje vertical como caso particular de la ecuación general de la parábola


El parámetro a indica lo “abierta” que es la parábola. Si el parámetro aes positivo, el vértice será el mínimo de la parábola. Si a es negativo, será el máximo.



Dibujo de las diferentes clases de parábola con el eje vertical según su pendiente y si la a es negativa o positiva
EJEMPLO
Dada la parábola ecuación , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.


parábola


solución

solución